La formula di Gauss con le monetine… ovvero come risparmiare un sacco di tempo con la matematica!

Alzi la mano chi di voi non ha mai pensato almeno una volta nella vita “ma che noia ricordarsi le formule!!” 😀 Io l’ho fatto sicuramente tantissime volte, e non conto nemmeno quelle in cui me lo sentirò dire dalle mie figlie da qui in avanti.

Però, da buona matematica, spesso rimango incantata di fronte alla bellezza e alla semplicità di alcune formule, di quelle che ti dici: “Ma dai! Questa è geniale, fa risparmiare un sacco di tempo!”

Ed è proprio questa la bellezza delle formule (e del saperle applicare al momento giusto), quella che con questo esperimento abbiamo tirato fuori in tutta la sua semplicità. 🙂

Per l’esperimento occorrono:

-1 sacchetto di monetine da 1 centesimo (almeno 210… a noi ne mancavano 4 e abbiamo rovistato nei portamonete di tutti!)

– foglietti e pennarello

– 1 foglio grande o la lavagna per i calcoli

La formula di Gauss è una delle prime che si incontrano nell’esame di Algebra all’Università. Non ha niente di speciale rispetto a tante formule complicate, e a guardarla bene magari non servirà nemmeno a tanto nella vita… anche se potremmo pensare a tante applicazioni, come “Mettere da parte un tot di euro pari al giorno del mese per un mese intero e voler sapere al volo a quanti euro abbiamo messo via il tal giorno”, per dirne una che mi viene in mente così, al volo. 🙂
Comunque… quello che mi colpì di questa formula quando il prof ce la raccontò (per spiegare la dimostrazione per induzione) fu non tanto la formula in sé, quanto la storiella con cui l’accompagnò. Guarda caso, è l’unica che ricordo come se fosse ora… a riprova di quanto sia forte il potere delle emozioni nell’apprendimento (*)

Comunque, la storiella è questa: a nove anni Gauss, a scuola, si ritrovò a dorver svolgere un esercizio lungo e noioso affidatogli dal maestro, ovvero quello di sommare i numeri da 1 a 100.

Dopo pochissimo tempo Gauss aveva presentato il risultato all’insegnante, e con grande sorpresa del maestro il risultato era giusto! Come aveva fatto Gauss? Semplicemente, aveva affrontato il problema guardandolo da un’altra angolazione, e mettendoci un pizzico di fantasia!

Mettendo in fila i numeri da 1 a 100 prima in ordine ascendente:

1, 2, 3, 4…. 100 e poi discendente:

100, 99, 98, 97, …. 1

si nota che la sommandoli in colonna si ottiene sempre 101. (1+100, 2+99, 3+98… 100+1). Sommando tutte le coppie di 101 per 100 volte e poi dividendo la somma ottenuta (che è il doppio di quello che dovevamo cercare) per 2 si ottiene il risultato che cercavamo. Quindi, la somma dei primi 100 numeri non è che 100*101/2. Semplice, no? 🙂

Per giocare un po’ con la nostra formula di Gauss e rendere meglio l’idea di quanto ci possa semplificare la vita abbiamo strutturato così il nostro esperimento, che (per motivi pratici di monetine disponibili) ha riguardato la somma dei primi 20 numeri.

Sveva alla lavagna ha iniziato a fare le somme una ad una, a mente 🙂

Vera ha preparato le monetine da sistemare sul tavolo.  

Sveva e Siria (un po’ ciascuna) hanno sistemato le monete in fila, così da poterle avere sott’occhio visivamente, e contarle una ad una 🙂      

La faccia sorpresa di Sveva quando dopo tutti i conti le ho spiegato la formula, chiedendole di applicarla! 😀

… E quella di Siria quando ha visto che il conteggio a mano si sarebbe potuto allegramente evitare! 

Ovviamente ci siamo segnate anche l’espressione matematica della formula, che per la cronaca è n*(n+1)/2. 🙂

E adesso non ditemi che la matematica non è per niente divertente, perché io non ci credo! <3

Tutti i nostri laboratori (scientifici e non) li trovate qui.

(*) Vi invito, a riguardo del potere delle emozioni nell’apprendimento, a guardare e ascoltare attentamente il video di Daniela Lucangeli che parla di cortocircuiti emozionali. Per me è stato davvero illuminante, il punto di inizio per iniziare un lavoro su me stessa e con le mie figlie e che ha davvero dato una svolta a un anno scolastico che altrimenti sarebbe stato nerissimo.

Ad aprile sono andata ad ascoltarla dal vivo ad un seminario all’UNIVPM ed è stata una esperienza meravigliosa, che mi ha dato un’energia e una forza immense, insieme alla voglia di continuare a studiare, documentarmi e sperimentare…