Siamo partite un po’ per caso e un po’ per gioco con l’esperimento della torta di mele scientifica e con la sfida dei biscotti di pan di zenzero. Non avrei mai pensato, quando abbiamo cominciato, che le bimbe ci avrebbero preso così tanto gusto da chiedermi quale sarebbe stato il prossimo esperimento. Io pure ci ho preso discretamente gusto, perché vedo i loro occhi brillare nella progettazione e negli svolgimenti delle nostre esperienze e anche perché (grazie ad alcuni preziosi suggerimenti che ho approfondito) nel frattempo ho scoperto un intero mondo e teorie didattiche che inconsapevolmente avevo già applicato.
Ecco come ci siamo organizzate: scegliamo insieme un tema, una esperienza o un esperimento (se attinente con quello che stanno studiando a scuola ancora meglio, così da poter fissare meglio qualche concetto), si progetta insieme e infine, nel fine settimana, lo realizziamo. Non sempre ovviamente abbiamo modo di documentarlo (anche perché diventa un lavorone!) ma quando riesco mi piace farlo, per poterlo rielaborare e ricondividere qui, senza che diventi anche questo un obbligo. Del resto tutto quello che facciamo non è altro che un semplice supporto a quello che si impara a scuola, un’esperienza che può dare loro qualche strumento in più, anche solo con queste semplici esperienze casalinghe.
Il tema della settimana sono state le espressioni aritmetiche e come costruirle partendo dalla soluzione di un problema. Sveva le sta iniziando a studiare ora in quinta elementare e Siria in quarta. Per aiutarci ancora meglio a capire tutte le regole e procedimenti abbiamo messo in pratica la costruzione di una espressione matematica a partire da un problema: la sua (ipotetica) paghetta mensile.
Non prima, ovviamente, di aver spiegato le regole base sulla costruzione e risoluzione delle espressioni matematiche, che riporto per comodità qui sotto.
1) Nelle espressioni matematiche c’è un ordine preciso con cui eseguire le operazioni. Moltiplicazione e divisione hanno sempre la precedenza rispetto ad addizione e sottrazione.
2) Se (e solo se) voglio forzare una precedenza, ovvero svolgere una addizione o sottrazione prima di una moltiplicazione o divisione, devo mettere una parentesi. La parentesi fra operatori di pari precedenza non sono necessarie e le operazioni possono essere svolte in ordine di comparizione secondo la proprietà associativa.
3) Esiste un preciso ordine di svolgimento delle espressioni nelle parentesi: le operazioni vanno svolte nelle parentesi tonde, poi quadre, poi graffe, infine fuori dalle graffe.
In soldoni: se ci sono tutti (+) o tutti (-) oppure tutti (x) o tutti (:) semplicemente non servono le parentesi. Altrimenti, vediamo con il nostro esperimento come dovremmo comportarci man mano che il problema (e la conseguente espressione matematica) si complica.
La matematica deve semplificarti la vita e non complicartela. Imparare ad apprezzarne l’utilità, la semplicità e l’eleganza è un dono prezioso che spero di lasciare in eredità alle mie figlie
La gestione della paghetta scientifica ovvero come costruire le espressioni matematiche massimizzando i guadagni (senza complicarsi la vita)
1 ) Prendere tre bambine fortunate che i genitori hanno deciso di premiare con una paghetta settimanale. Sveva riceve 5 euro, Siria 3 e Vera 2 (la paghetta è iniqua non perché stiamo facendo preferenze, ma perché si riferisce alle mole delle mansioni svolte da ciascuna in casa). A quanto ammonta la somma totale delle paghette?
L’espressione corretta è 5+3+2.
Non serviranno mai parentesi per rappresentare questa espressione, anche se dovessi chiedere prima a quanto ammonta la paghetta delle sorelle maggiori 5+3 e poi quella totale, +2. Al massimo, si potrà applicare la proprietà associativa tra i primi due numeri per ottenere gli 8 euro di paghetta delle sorelle maggiori.
In nessun caso 5+3+2 diventerà (5+3)+2 se voglio scrivere una espressione matematica corretta. Le parentesi tonde non sono necessarie e non forzano nessuna precedenza fra gli operatori, in quanto siamo in presenza di operazioni che hanno pari precedenza.
Stesso discorso varrebbe se dalla paga delle sorelle maggiori dovessi togliere 2 euro. L’espressione corretta sarebbe 5+3-2.
2) Crescendo, a Siria viene aumentata la paghetta. 3 euro al giorno dal lunedì al venerdì, con un extra di 2 euro per il fine settimana. A quanto ammonta la paghetta settimanale di Siria?
L’espressione corretta è 3×5+2.
Non serviranno mai parentesi per rappresentare questa espresssione, perché la moltiplicazione ha la precedenza rispetto alla addizione, e quindi viene eseguita per prima. Scrivere (3×5) +2 non serve. La paghetta di Siria è comunque invidiabile: ben 17 euro! Se ti stai chiedendo perché il 3 e il 2 sono in monete e il 5 è un numero, è perché quest’ultimo rappresenta il numero di volte per cui dobbiamo moltiplicare (ovvero il numero di giorni infrasettimanali in cui ho ricevuto la paghetta) e ovviamente non va espresso in euro, semmai in giorni. 🙂
3) In uno slancio di generosità mamma e babbo decidono che Siria si merita 3 euro dal babbo e 2 euro dalla mamma ogni giorno, dal lunedì al venerdì. Più un extra di 4 euro la domenica. A quanto ammonta la paghetta settimanale di Siria?
L’espressione corretta è (3+2)x5+4.
e indica che Siria riceve ben 5 euro (3+2) al giorno per 5 giorni, + 4 la domenica, che fanno ben 29 euro a settimana. Per ottenere il risultato corretto ho forzato la precedenza fra la moltiplicazione e l’addizione con le parentesi tonde. Se io non avessi messo la parentesi nella mia espressione forzando le precedenze fra gli operatori, avrei ottenuto invece 3+2×5+4 = 17 euro, ben 12 euro in meno di paghetta. Decisamente poco conveniente per Siria!
Questa espressione avrebbe potuto rappresentare però il caso in cui Siria avesse ricevuto 3 euro la domenica, 2 euro al giorno dal lunedì al venerdì e 4 euro il sabato. “E perché non hai messo anche una bella parentesi quadra prima di aggiungere il 4, mamma?” Perché non è necessaria, in quanto l’operazione di addizione non ha precedenza rispetto a quella di moltiplicazione appena precedente nell’espressione.
4) Volendo calcolare a quanto ammonta la paghetta di Siria come al punto 3 ) nel mese di febbraio (4 settimane) ecco che la nostra espressione matematica incontra invece una nuova parentesi, quella quadra.
L’espressione corretta è [(3+2)x5+4]x4.
Che in soldoni fanno 116 euro. La parentesi quadra è necessaria perché sto forzando nuovamente una precedenza tra gli operatori, moltiplicando l’intera somma ottenuta prima per 4. Diversamente, se non l’avessi messa, l’espressione (3+2)x5 +4×4 senza le parentesi quadre avrebbe dato solo 41 euro, con un ammanco di ben 75 euro.
5) E se chiedessi a Siria di mettere metà dell’importo guadagnato nel salvadanio?
L’espressione corretta sarebbe [(3+2)x5+4]x4 :2
Nessuna ulteriore parentesi in quanto l’operazione aggiunta (:) ha la stessa precedenza di quella al livello più esterno (x). Siria avrebbe messo da parte ben 58 euro ogni 4 settimane, tenendo 58 euro per le proprie spese personali.
6) E se alla fine del mese, a conti fatti, i nonni le regalassero altri 10 euro extra da spendere?
L’espressione corretta sarebbe [(3+2)x5+4] x4:2+10.
Ovvero 68 euro. “Ma come, nemmeno questa volta posso aggiungere la parentesi graffa?” Non serve, perché l’operazione aggiunta (+) non avrebbe precedenza rispetto a quelle al livello più esterno (x, :). E nemmeno se te ne dessero altri 5 gli altri nonni dovresti aggiungere la parentesi! Avresti semplicemente [(3+2)x5+4] x4:2+10+5. Al massimo, per la proprietà associativa, possiamo dire che i soldi che ti hanno in totale i nonni sono 15 euro, e volendo potresti svolgere questa operazione mentre risolvi quelle dentro le parentesi, per portarti avanti coi calcoli.
7) E se (finalmente!) Siria andasse in cartoleria a sperperare parte della sua paghetta in figurine, spendendo la metà del suo budget?
L’espressione corretta sarebbe {[(3+2)x5 +4] x4 :2 + 10} :2.
La parentesi graffa è servita per ottenere 34 euro di figurine e lasciare nel portafogli altrettanti soldi da spendere in quello che le piace di più!!!
E se non l’avesse messa? Si sarebbe trovata con ben [(3+2)x5+4]x4:2+10:2 = 63 euro di figurine (una spesa folle!), ma solo 5 euro nel portafogli per la prossima spesa. Siria avrebbe dovuto prestare più attenzione alle parentesi per non sprecare tutta la paghetta!
Questo perché la regola base nel decidere se è il momento di mettere la parentesi prima di aggiungere l’operazione successiva è: se sto aggiungendo una operazione che va applicata all’intera espressione ottenuta finora e se questa operazione ha precedenza rispetto all’ultima operazione aggiunta (: rispetto al +) allora metto una parentesi, per evitare che la precedenza mi obblighi ad applicare l’operazione solo all’ultimo numero in espressione. Se invece l’operazione si riferisce al solo ultimo numero della espressione allora non la metto. Ad esempio, se avessi dovuto dividere con tutti i componenti della famiglia i 10 euro extra regalati dai nonni, avrei ottenuto esattamente l’espressione [(3+2)x5+4]x4:2+10:5 = 60 euro.
A conti fatti, ma quanto mi costeranno queste figlie? Ma soprattutto, avrà capito Siria come si crea una espressione matematica da zero e senza errori formali?
Ve lo dirò quando sarà arrivata alle scuole medie, e spero con tutto il cuore che la risposta sia un bel “sì”!
😉
Nota doverosa: il problema è volutamente più complicato rispetto alle capacità di una bimba di 9 anni, ma svolto passo passo con un esempio reale è servito ad afferrare pienamente le espressioni e soprattutto il concetto astratto di parentesi e a capire quando è necessario o superfluo inserirle nella creazione di una espressione. Il tutto partendo dalla regola che sta alla base delle operazioni aritmetiche: la precedenza fra gli operatori.
Per aver chiari i concetti base e risolvere la maggioranza dei problemi che vengono posti nella scuola primaria, con molta probabilità, non si andrebbe oltre i punti 3 ) o massimo 4 ). Ho proposto la seconda parte dell’esperienza nei giorni successivi, per non creare confusione con un problema troppo complicato sin dall’inizio e solo per far capire alle bimbe che prima di arrivare ad inserire le parentesi graffe in una espressione dobbiamo essere arrivati a complicare il nostro problema non poco. Anche se a dire il vero… sembrava che stessimo solo giocando! 🙂
Progredendo nel cammino noterai che tutto nella matematica si riconduce alle azioni semplici della vita. Dietro a ogni nozione nuova c’è un vissuto corporeo vecchio. Cioè ci sei tu con i tuoi giochi infantili. Tu che guardi dall’alto o dal basso e che corri avanti o indietro o ti sporgi osservando bene dove mettere i piedi per non toccare i confini in questo gioco di geometria viva. (C. Bortolato)
